Rivista Quanti

5 giugno 2023

Maggie Chiang per Quanta Magazine

Scrittore collaboratore

5 giugno 2023

I matematici si rallegrano quando dimostrano che esistono cose apparentemente impossibili. È il caso di una nuova prova pubblicata online a marzo da Cédric Pilatte, uno studente del primo anno di laurea presso l'Università di Oxford.

Pilatte dimostrò che è possibile creare un insieme – una raccolta di numeri – che soddisfi due proprietà apparentemente incompatibili. Il primo è che non esistono due coppie di numeri nell'insieme che si sommano allo stesso totale. Ad esempio, somma due numeri qualsiasi in {1, 3, 5, 11} e otterrai sempre un numero univoco. È facile costruire piccoli insiemi "Sidone" come questo, ma all'aumentare del numero di elementi, aumenta anche la probabilità che le somme coincidano, distruggendo l'essenza Sidone dell'insieme.

Il secondo requisito è che il set deve essere molto grande. Deve essere infinito e dovresti essere in grado di generare qualsiasi numero sufficientemente grande sommando al massimo tre numeri nell'insieme. Questa proprietà, che rende l'insieme una "base asintotica di ordine 3", richiede un insieme di numeri ampio e denso. "Stanno tirando in direzioni opposte", ha detto Pilatte. "Gli insiemi di Sidone sono vincolati a essere piccoli, e una base asintotica è vincolata a essere grande. Non era ovvio che potesse funzionare."

La questione se esista un tale insieme è rimasta per decenni, da quando fu posta dal prolifico matematico ungherese Paul Erdős e da due collaboratori nel 1993. Il fascino di Erdős per gli insiemi di Sidone può essere fatto risalire a una conversazione che ebbe nel 1932 con il loro inventore. Simon Sidon, che all’epoca era interessato a comprendere il tasso di crescita di questi set. (Erdős avrebbe poi descritto Sidone come "più pazzo del matematico medio", cosa che quasi certamente intendeva come un complimento.)

Gli insiemi di Sidone nascono in una varietà di contesti matematici tra cui la teoria dei numeri, la combinatoria, l'analisi armonica e la crittografia, ma la semplice questione di quanto grandi possano diventare è stato un mistero duraturo su cui Erdős ha riflettuto per gran parte della sua carriera. Erdős si è reso conto subito che i set di Sidone sono estremamente difficili da scalare. Nel 1941 lui e un altro matematico dimostrarono che il più grande insieme di Sidone i cui membri sono tutti minori di un intero N deve essere minore della radice quadrata di N più un termine che cresce in proporzione alla quarta radice di N. (Nel 1969, Bernt Lindström dimostrerebbe che è più piccolo di $latex \sqrt{N}+\sqrt[4]{N}+1$, e nel 2021 un altro gruppo di matematici ha rafforzato il limite a $latex \sqrt{N}+0,998 \ volte \sqrt[4]{N}$.) Gli insiemi di Sidone, in altre parole, devono essere sparsi.

È noto da tempo che un insieme di Sidone non può essere una base asintotica di ordine 2, dove qualsiasi intero può essere espresso come somma di al massimo due numeri. (I numeri dispari, ad esempio, formano una base di ordine 2.) Come spiegò Pilatte, questo è così semplice da dimostrare che i matematici non si sono presi la briga di scriverlo: "Che l'ordine 2 sia impossibile era probabilmente noto molto prima è stato esplicitamente scritto in letteratura." Ha spiegato che ciò è dovuto al fatto che "le sequenze di Sidone non possono superare una certa densità, mentre le basi asintotiche di ordine 2 sono sempre più dense di quella soglia, quindi le due proprietà non possono valere contemporaneamente".

Si credeva generalmente che una base asintotica di ordine 3 potesse essere costruita da un insieme di Sidone, ma dimostrarlo era un'altra questione. "La gente credeva che questo dovesse essere vero", ha detto il consigliere di Pilatte James Maynard. "Ma c'era una difficoltà con le tecniche che stavamo usando."

Erano stati compiuti alcuni progressi prima che Pilatte accettasse la sfida. Nel 2010, il matematico ungherese Sándor Kiss ha dimostrato che un insieme di Sidone può essere una base asintotica di ordine 5 — il che significa che qualsiasi intero sufficientemente grande può essere scritto come la somma di al massimo cinque elementi dell'insieme — e nel 2013 Kiss e due di i suoi colleghi dimostrarono la congettura per una base asintotica di ordine 4. Due anni dopo, il matematico spagnolo Javier Cilleruelo fece un ulteriore passo avanti dimostrando che è possibile costruire un insieme di Sidone che sia una base asintotica di ordine 3 + e, il che significa che qualsiasi intero N sufficientemente grande può essere scritto come la somma di quattro membri dell'insieme di Sidone, con uno di essi più piccolo di Ne per e positivo arbitrariamente piccolo.