La confezione regalo delle cinque arance ha ingannato per generazioni le migliori menti matematiche

Avvolgere perfettamente insieme oggetti sferici sembra banale, ma è un compito che ha sconcertato i matematici per secoli

"Ai vecchi tempi, ricevevamo solo arance in regalo e ne eravamo felici!" Questa è una frase che a volte senti quando una persona anziana critica la sontuosa massa di doni che ricevono i bambini di oggi. Ciò che menzionano raramente è la confezione regalo. Mettiamo il caso che volessi regalare cinque arance: come disporresti i frutti in modo che consumino meno spazio e carta da imballaggio possibile?

A quanto pare, c'è molta matematica dietro questa domanda apparentemente innocua. Dopotutto ci sono voluti più di 400 anni per dimostrare qualcosa che i commercianti di frutta sanno da tempo immemorabile: che l'impilamento ottimale di infinite palline nello spazio tridimensionale si ottiene disponendole a forma di piramide. Una soluzione verificata a questo enigma, nota come congettura di Keplero, è stata pubblicata solo nel 2017. La situazione è tuttavia molto diversa se si considera solo un numero finito di oggetti.

Sorprendentemente, i matematici non affrontarono quest'ultimo tipo di problema fino alla fine del XIX secolo. Il geometra norvegese Axel Thue fu il primo a studiare la disposizione ottimale di un numero finito di cerchi bidimensionali nel 1892. Importanti progressi nel campo non si ebbero fino ai decenni successivi, quando il matematico ungherese László Fejes Tóth affrontò l'argomento.

Per comprendere meglio il problema, è utile considerare innanzitutto un caso bidimensionale semplificato. Ad esempio, possiamo provare a disporre più monete della stessa dimensione nel modo più salvaspazio possibile. Per fare ciò, li delineamo con un pezzo di corda, che stringiamo strettamente insieme, e calcoliamo l'area che la corda racchiude. Per n = 2 monete si trova rapidamente la disposizione ottimale: le mettiamo in modo che si tocchino. La corda più corta che racchiude entrambe le monete di raggio r ha quindi una lunghezza di (4 + 2π)r.

Questa lunghezza si calcola meglio sezione per sezione: aggiungi la parte diritta della corda (4 xr) più le aree rotonde che racchiudono un cerchio in totale (2πr). La corda racchiude un'area totale di (4 + π)r2. In questo caso ovviamente non esiste più un modo salvaspazio per disporre le monete.

D'altra parte, se si hanno a disposizione tre monete, improvvisamente ci sono due diverse disposizioni che sembrano risparmiare spazio: le si allineano una accanto all'altra o le si posiziona lungo gli angoli di un triangolo equilatero. Nel primo caso, lo spago avrebbe la forma di una salsiccia, motivo per cui in matematica si chiama pacco a "salsiccia". Il secondo caso viene definito dagli esperti pacco “pizza”. Ma quale soluzione risparmia più spazio: confezionare salsicce o confezionare pizza?

A quanto pare, la confezione della pizza è migliore. La lunghezza di questo filo è (6 + 2π)r, e l'area coperta è corrispondentemente (6 + √ 3 + π)r2, mentre il filo del pacco di salsicce è lungo (8 + 2π)r e racchiude un'area di ( 8 + π)r2. Se guardi da vicino, questa differenza può essere vista anche direttamente dalle immagini. Gli spazi tra le monete nella disposizione delle salsicce sono più grandi che nella confezione della pizza.

In effetti, è possibile fornire una formula generale per la lunghezza richiesta della corda e l'area confinata. Se si dispongono n monete a forma di salsiccia, è necessaria una stringa di lunghezza 4(n – 1 + 2π)r, che racchiuda un'area di 4(n – 1)r2 + πr2 . Se invece le monete sono disposte lungo una griglia triangolare la cui forma assomigli il più possibile ad un esagono regolare, tutto ciò che serve è una stringa di lunghezza 2(n + π)r che racchiuda un'area di (2n + √ 3(n – 2) + π)r2.

Pertanto, abbiamo dimostrato che la confezione della pizza è più efficiente in termini di spazio rispetto alla forma della salsiccia per un numero qualsiasi di n cerchi. Ma è davvero sempre ottimale? Determinarlo è un compito molto più difficile. Dopotutto, potrebbe esserci una disposizione completamente caotica dei cerchi che occupano ancora meno spazio. Eliminare questi casi si rivela estremamente difficile. È qui che entra in gioco il matematico ungherese László Fejes Tóth. Nel 1975 congetturò che l'imballaggio ottimale di n cerchi è una disposizione in un reticolo triangolare che forma la forma di un esagono il più regolare possibile.