Una forma geometrica che non si ripete quando viene piastrellata

Rapporto del 23 marzo 2023

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di Bob Yirka, Phys.org

Un quartetto di matematici dell'Università dello Yorkshire, dell'Università di Cambridge, dell'Università di Waterloo e dell'Università dell'Arkansas ha scoperto una forma geometrica 2D che non si ripete quando viene piastrellata. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan e Chaim Goodman-Strauss hanno scritto un articolo in cui descrivono come hanno scoperto la forma unica e i possibili usi per essa. Il loro articolo completo è disponibile sul server di prestampa arXiv.

Quando le persone piastrellano i loro pavimenti, tendono a utilizzare forme geometriche semplici che si prestano a schemi ripetitivi, come quadrati o triangoli. A volte, però, le persone vogliono modelli che non si ripetano ma che rappresentano una sfida se vengono utilizzati gli stessi tipi di forma. In questo nuovo sforzo, il gruppo di ricerca ha scoperto un’unica forma geometrica che, se utilizzata per la piastrellatura, non produrrà motivi ripetitivi.

Nel loro scenario, i ricercatori hanno notato che la piastrellatura si riferisce all’adattamento delle forme insieme in modo tale che non vi siano sovrapposizioni o spazi vuoti. La piastrellatura che non presenta motivi ripetitivi è nota come piastrellatura aperiodica e viene generalmente ottenuta utilizzando più forme di piastrella. Per molti anni, i matematici hanno studiato l'idea di creare forme che potessero essere utilizzate per creare un'infinita varietà di motivi quando piastrellate.

Uno dei primi tentativi ha prodotto un set di 20.426 tessere. A ciò seguì lo sviluppo delle piastrelle Penrose, nel 1974, che si presentano in serie di due rombi di forma diversa. Da allora, i matematici hanno continuato a cercare quella che è diventata nota come la forma "einstein", un'unica forma che potrebbe essere utilizzata da sola per la piastrellatura aperiodica.

In particolare, il nome deriva dalla frase "una pietra" in tedesco, non dal famoso fisico. In questo nuovo sforzo, il gruppo di ricerca afferma di aver trovato la sfuggente forma di Einstein e di averlo dimostrato matematicamente.

La forma ha 13 lati e la squadra la chiama semplicemente "il cappello". Lo hanno trovato riducendo prima le possibilità utilizzando un computer e poi studiando a mano i set più piccoli risultanti. Una volta ottenuta quella che credevano fosse una buona possibilità, l'hanno testata utilizzando un programma software combinatorio e hanno poi dimostrato che la forma era aperiodica utilizzando un argomento di incommensurabilità geometrica. I ricercatori concludono suggerendo che l’applicazione più probabile del cappello è nel campo artistico.

Maggiori informazioni: David Smith et al, Una monotile aperiodica, arXiv (2023). DOI: 10.48550/arxiv.2303.10798

Informazioni sul diario:arXiv

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